Abelian Group

定义 Definition

Abelian group（阿贝尔群）是指一种群（group），其中的运算满足交换律：对任意元素 (a,b)，都有 (a*b=b*a)。它是抽象代数中最常见、最基础的一类代数结构之一。（注：群本身还需满足封闭性、结合律、单位元与逆元存在等公理。）

发音 Pronunciation

/əˈbiːliən ɡruːp/

例句 Examples

The integers under addition form an abelian group.
整数在加法运算下构成一个阿贝尔群。

In many areas of algebra, studying abelian groups helps classify more complicated structures via homomorphisms and invariants.
在代数的许多领域中，研究阿贝尔群有助于通过同态与不变量来分类更复杂的结构。

词源 Etymology

Abelian来自数学家尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）的姓氏；“Abelian group”这一术语用来纪念他在代数与方程理论方面的重要贡献。该词在数学语境中通常等同于commutative group（交换群）。

相关词 Related Words

• Group
• Commutative
• Subgroup
• Homomorphism
• Isomorphism
• Ring
• Field
• Module
• Vector Space
• Invariant

文学与著作中的用例 Literary Works

• Abstract Algebra（Dummit & Foote）：以阿贝尔群为核心例子讲解同态、商群与结构定理。
• Algebra（Serge Lang）：在群论与同调代数相关章节频繁使用“abelian group”。
• A First Course in Abstract Algebra（John B. Fraleigh）：用阿贝尔群引入交换性与群的基本分类思想。
• Algebra（Michael Artin）：在对称性、群作用与线性代数连接处提到阿贝尔群作为重要特例。